求一数列题若公比为c（c≠0）的等比数列{An}的首相A1=1且满足An=（An-1+An-2）/2（n=3,4…）（1）求c的值（2）求数列{nAn}的前n项和Sn

Question

求一数列题
若公比为c（c≠0）的等比数列{An}的首相A1=1且满足An=（An-1 +An-2）/2（n=3,4…）
（1）求c的值
（2）求数列{nAn}的前n项和Sn

Answer 1

1.c=1或者c=-1/2
由A1=1,所以An=A1*c^(n-1)= c^(n-1) c^(n-1)表示c的n-1次方
An=（An-1 +An-2）/2,即为：c^(n-1)=[c^(n-2）+c^(n-3)]/2
等式两边同时除以c^(n-3),可得c^2=(c+1)/2,即2c^2-c-1=0,可解.
2.c=1,Sn=n+1)n/2; c=-1/2,Sn=4/9[1-(-1/2)^n]-2n(-1/2)^n/3
这是一个差比数列
如果c=1,则Sn=1+2+3+……+n=(n+1)n/2
如果c=-1/2时：
Sn=1*A1+2*A2+3*A3+ …… +n*An
Sn=1*c^0+2*c^1+3*c^2+ …… …… + n*c^(n-1)
cSn= 1*c^1+2*c^2+3*c^3+……+（n-1)*c^(n-1)+n*c^n
Sn-cSn=1*c^0+1*c^1+1*c^2+ …… +1*c^(n-1)-n*c^n
1*c^0+1*c^1+1*c^2+ …… +1*c^(n-1)=1+c+c^2+……+c^(n-1)
=1*(1-c^n)/[1-(-1/2)],把c=-1/2代入,=2/3[1-(-1/2)^n]
Sn-cSn=Sn(1-c)=3Sn/2=2/3[1-(-1/2)^n]-n(-1/2)^n
Sn={2/3[1-(-1/2)^n]-n(-1/2)^n}*2/3=4/9[1-(-1/2)^n]-2n(-1/2)^n/3