（1）已知实数a满足a2-a-1=0，求a8+7a-4的值．（2）已知(a−b)(b−c)(c−a)(a+b)(b+c)(c+a)＝5132，求aa+b+bb+c+cc+a的值．

Question

（1）已知实数a满足a²-a-1=0，求a⁸+7a^-4的值．
（2）已知((a−b)(b−c)(c−a))/((a+b)(b+c)(c+a))＝(5)/(132)，求(a)/(a+b)+(b)/(b+c)+(c)/(c+a)的值．

Answer 1

（1）由已知得a²=a+1，
两边平方，得a⁴=a²+2a+1=3a+2，
两边再平方，得a⁸=9a²+12a+4=21a+13，
∴a⁸+7a^-4=21a+13+(7)/(3a+2)
=(63a2+81a+26+7)/(3a+2)
=(63a+63+81a+33)/(3a+2)
=(48(3a+2))/(3a+2)=48；

（2）∵(a−b)/(a+b)+(b−c)/(b+c)+(c−a)/(c+a)
=((a−b)(b+c)(c+a)+(b−c)(a+b)(c+a)+(c−a)(a+b)(b+c))/((a+b)(b+c)(c+a))
=((c+a)(2ab−2bc)+(c−a)(ab+b2+ac+bc))/((a+b)(b+c)(c+a))
=((a−c)[2bc+2ba−ab−b2−ac−bc])/((a+b)(b+c)(c+a))
=-((a−b)(b−c)(c−a))/((a+b)(b+c)(c+a))=-(5)/(132)，
∴（(a−b)/(a+b)+1）+（(b−c)/(b+c)+1）+（(c−a)/(c+a)+1）=3-(5)/(132)=(391)/(132)，
即(2a)/(a+b)+(2b)/(b+c)+(2c)/(c+a)=(391)/(132)，
∴(a)/(a+b)+(b)/(b+c)+(c)/(c+a)=(391)/(264)．