用an表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则a9=9；10的因数有1，2，5，10，则a10=5，记数列{an}的前n项和为Sn，则S22016-1=．

Question

用a_n表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则a₉=9；10的因数有1，2，5，10，则a₁₀=5，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S 22016-1=___．

Answer 1

令a_n=g（n）．
由a_n的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=(1)/(2)×2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ=(4(1-4n))/(1-4)=(4)/(3)（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，∴f（n+1）=(4)/(3)（4ⁿ-1）+1．
∴S 22016-1=(42016-1)/(3)．
故答案为：(42016-1)/(3)．