若（x2-3x+2）5=a+a1x+a2x2+…+a10x10（1）求a2（2）求a1+a2+…+a10（3）求（a+a2+a4+…+a8+a10）2-（a1+a3+…+a7+a9）2．

Question

若（x²-3x+2）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（1）求a₂
（2）求a₁+a₂+…+a₁₀
（3）求（a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²．

Answer 1

（1）根据 （x²-3x+2）⁵=（x-1）⁵•（x-2）⁵，a₂ 是展开式中x² 的系数，求出a₂ 的值．
（2）令x=1，代入已知式可得 a+a₁+a₂+…+a₁₀=0，而令x=0得 a=32，从而求得 a₁+a₂+…+a₁₀ 的值．
（3）令x=-1 可得 a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=6⁵，再由a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀+（a₁+a₃+…+a₇+a₉）
=0，相乘即得所求．
【解析】
（1）（x²-3x+2）⁵=（x-1）⁵•（x-2）⁵，a₂ 是展开式中x² 的系数．
∴a₂ =C₅⁵（-1）⁵ C₅³（-2）³+C₅⁴（-1）⁴C₅⁴（-2）⁴+C₅³（-1）³C₅⁵（-2）⁵=800．
（2）令x=1，代入已知式可得 a+a₁+a₂+…+a₁₀=0，而令x=0得 a=32，
∴a₁+a₂+…+a₁₀=-32．
（3）令x=-1 可得 a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=6⁵．
再由a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀+（a₁+a₃+…+a₇+a₉）=0，
把这两个等式相乘可得 （a+a₂+a₄+…+a₈+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₇+a₉）²=6⁵×0=0．