已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P是线段A₁C₁上的动点，则四棱锥P-ABCD的外接球半径R的取值范围是 ___ ．

Answer 1

如图，设P-ABCD的外接球的球心为G，
∵A，B，C，D在球面上，∴球心在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上下底面中心连线O₁O上，点P也在球上，
∴GP=GA=R
∵棱长为1，∴OA=(√(2))/(2)，设O₁P=x，O₁G=y，
则OG=1-y，在Rt△GO₁P中，有R²=x²+y²…①，
在Rt△GOA中，R2=((√(2))/(2))2+(1-y)2…②，将①代入②，得x2=(3)/(2)-2y，
∵0≤x≤(√(2))/(2)，∴(1)/(2)≤y≤(3)/(4)，∴R2=x2+y2=(3)/(2)-2y+y2=(y-1)2+(1)/(2)∈[(9)/(16)，(3)/(4)]，
于是R的最小值为(3)/(4)．R的取值范围是：[(3)/(4)，(√(3))/(2)]．
故答案为：[(3)/(4)，(√(3))/(2)]．