若a，b∈R，a≠b，a2-a-1=0，b2=b+1．（1）求ab+ba的值．（2）求a5+b5的值．

Question

若a，b∈R，a≠b，a²-a-1=0，b²=b+1．
（1）求(a)/(b)+(b)/(a)的值．
（2）求a⁵+b⁵的值．

Answer 1

由题意得到a，b是方程x²-x-1=0的两个实根，故ab=-1，a+b=1，
所以（1）(a)/(b)+(b)/(a)=(a2+b2)/(ab)=((a+b)2-2ab)/(ab)=-3．
（2）a⁵+b⁵=（a+b）⁵-5a⁴b-10a³b²-10a²b³-5ab⁴
=（a+b）⁵-5ab（a³+2a²b+2ab²+b³）
=1+5[（a+b）³-a²b-ab²）
=1+5[1-ab（a+b）]
=1+5[1+1]
=11．