已知a，b，c，d是正实数，且abcd=1，求证：a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d．

Question

已知a，b，c，d是正实数，且abcd=1，求证：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．

Answer 1

证明：∵a，b，c，d是正实数，且abcd=1，
∴a⁵+b+c+d≥4

4

a5bcd

=4a，
同理可得：a+b⁵+c+d≥4

4

ab5cd

=4b，
a+b+c⁵+d≥4

4

abc5d

=4c，
a+b+c+d⁵≥4

4

abcd5

=4d，
将上面四式相加得：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+3a+3b+3c+3d≥4a+4b+4c+4d，
∴a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．