选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x＝2cosαy＝2+2sinα（其中α为参数），M是曲线C1上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线C2，直线l的方程为

Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

（其中α为参数），M是曲线C₁上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线C₂，直线l的方程为ρsin（θ+(π)/(4)）=√(2)，直线l与曲线C₂交于A，B两点．
（1）求曲线C₂的普通方程；
（2）求线段AB的长．

Answer 1

（1）由曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

（其中α为参数），消去参数化为普通方程为 x²+（y-2）²=4．
设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（(x)/(2)，(y)/(2)）．
再由M是曲线C₁上的动点可得 ((x)/(2))2+((y)/(2)−2)2=4，即 x²+（y-4）²=16．故曲线C₂的普通方程为  x²+（y-4）²=16．
（2）直线l 的方程为ρsin（θ+(π)/(4)）=√(2)，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．
由于圆心（0，4）到直线的距离等于d=(|0+4−2|)/(√(2))=√(2)，圆的半径等于4，
∴线段AB=2 √(r2−d2)

作业帮用户 2017-10-07 举报