计算∮c2/z（z^2+1)dz其中z-i=3/2求助时间比较急那个好心人帮帮忙谢谢

Question

计算∮c 2/z（z^2+1)dz 其中 【z-i】=3/2 求助 时间比较急 那个好心人帮帮忙 谢谢

Answer 1

是求∮{C} 2/(z(z²+1)) dz,其中C:|z-i| = 3/2逆时针方向?
被积函数f(z) = 2/(z(z²+1))在复平面上有3个单极点z = 0,z = i与z = -i.
其中在C内部的有z = 0和z = i.
由留数定理∮{C} f(z) dz = 2πi(Res(f,0)+Res(f,i)).
而zf(z) = 2/(z²+1),在z = 0处取值为2,故Res(f,0) = 2.
(z-i)f(z) =2/(z(z+i)),在z = i处取值为-1,故Res(f,i) = -1.
代入得∮{C} 2/(z(z²+1)) dz = 2πi.