有三个半圆形的光滑滑槽C1、C2、C3，和一个半圆形的光滑圆管C4，在竖直平面内连接成如图所示轨道，它们的半径分别为4R、R、R、和2R，C4内径远小于R．有一个比C4内径略小的、质量为m的小

Question

有三个半圆形的光滑滑槽C₁、C₂、C₃，和一个半圆形的光滑圆管C₄，在竖直平面内连接成如图所示轨道，它们的半径分别为4R、R、R、和2R，C₄内径远小于R．有一个比C₄内径略小的、质量为m的小球，以一定速度竖直向下从A点出发，沿C₁、C₂、C₃的凹面运动，然后进入C₄管内，最后又回到A点．已知重力加速度为g．求：
（1）小球在A点出发时速度v_A至少多大？
（2）若在A点出发时速度v′_A=√(6gR)，小球运动到何处，轨道对小球的弹力最大？最大值是多大？

Answer 1

（1）若小球能过D点，则D点速度满足：mg≤m(v2D)/(R)  
 即 vD≥√(gR)…①
从A到D对小球由机械能守恒得：(1)/(2)m

v

2 A

＝mgR+(1)/(2)m

v

2 D

 …②
联立①②解得：vA≥√(3gR)…③
若小球能过H点，则H点速度满足v_H≥0…④
从A到H对小球由机械能守恒得：(1)/(2)m

v

2 A

＝mg(2R)+(1)/(2)m

v

2 H

…⑤
联立④、⑤解得：vA≥2√(gR)    …⑥
小球要能沿环形轨道运行一周，必须都能通过D点和H点．
比较③、⑥得：vA≥2√(gR)  
即A点出发时速度v_A至少为：vA＝2√(gR)
（2）小球在运动过程中，轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点，B点和F点都有可能，
从A到B对小球由机械能守恒得：

作业帮用户 2016-12-09 举报

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问题解析

（1）小球要能回到A点，必须通过D点和H点．当小球能过D点时满足所需要的向心力大于重力，由机械能守恒求出v_A的范围；若小球能过H点，则H点速度满足v_H≥0，再由机械能守恒求出v_A的范围，即可得到v_A的最小值．
（2）小球在运动过程中，轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点，B点和F点都有可能，根据机械能守恒求出小球经过这两点的速度，根据向心力知识求解．

名师点评

本题考点：

机械能守恒定律；牛顿第二定律；向心力．

考点点评：

本题涉及两种模型：圆C₂是轻绳模型，轨道对小球不能支撑，临界情况是轨道对小球没有作用力；圆管C₄是轻杆模型，轨道对小球能支撑，临界情况是小球速度为零．掌握临界条件，运用机械能守恒和牛顿第二定律、向心力知识结合进行处理是常用的思路．

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