设函数f(x)＝(x2−20x+c1)(x2−20x+c2)…(x2−20x+c10)，集合M={x|f（x）=0}={x1，x2，…，x19}⊆N*，设c1≥c2≥…≥c10，则c1-c10=（）A．83B．85C．79D．81

Question

设函数f(x)＝(x2−20x+c1)(x2−20x+c2)…(x2−20x+c10)，集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，设c₁≥c₂≥…≥c₁₀，则c₁-c₁₀=（　　）

A．83
B．85
C．79
D．81

Answer 1

∵函数f(x)＝(x2−20x+c1)(x2−20x+c2)…(x2−20x+c10)，
∵M={x|f（x）=0}={x₁，x₂，…，x₁₉}⊆N^*，
令0＜x₁＜x₂＜…＜x₁₉，
则由韦达定理可得
x₁+x₁₉=x₂+x₁₈=…=x₁₀+x₁₀=20
则x₁₉＜20
故x_n=n，1≤n≤19，n∈N^*，
∴x₁•x₁₉＜x₂•x₁₈＜…＜x₁₀•x₁₀，
又∵c₁≥c₂≥…≥c₁₀，
∴c₁₀=x₁•x₁₉=19，c₁=x₁₀•x₁₀=100
即c₁-c₁₀=100-19=81
故选D