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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明AD⊥D1F;(2)求AE与D1F所成的角.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)证明AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角.
(1)证明AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1.
又D1F⊂面DC1,
∴AD⊥D1F.
(Ⅱ)取AB中点G,连接A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1.
又D1F⊂面DC1,
∴AD⊥D1F.
(Ⅱ)取AB中点G,连接A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
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