棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是（）A.4B.2+2C.3+5D.2+5

Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁B₁，BB₁的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是（　　）

A. 4

B. 2+

√(2)

C. 3+

√(5)

D. 2+

√(5)

Answer 1

如图，取CC₁的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，
∵BC⊥平面ABA₁B₁，NB⊂平面ABA₁B₁，
∴NB⊥MG，
∵正方体的棱长为1，M，N分别是A₁B₁，BB₁的中点，
△BEM中，∠MBE=30°，∠BME=60°
∴∠MEB=90°，即BN⊥AM，MG∩AM=M，
∴NB⊥平面ADGM，
∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，
∵正方体的棱长为1
∴故由勾股定理可得，使B₁C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+√(5)．
故选：D．