将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1，如图1所示．（1）当α=45°时（如图2），若线段OA与边A1D1的交点为E，线段OA1与AB的交点为F，可得下列结论成立①△EOP≌△FOP；②PA=PA1，

Question

将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A₁B₁C₁D₁，如图1所示．
（1）当α=45°时（如图2），若线段OA与边A₁D₁的交点为E，线段OA₁与AB的交点为F，可得下列结论成立 ①△EOP≌△FOP；②PA=PA₁，试选择一个证明．
（2）当0°＜α＜90°时，第（1）小题中的结论PA=PA₁还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在旋转过程中，记正方形A₁B₁C₁D₁与AB边相交于P，Q两点，探究∠POQ的度数是否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出∠POQ的度数．

Answer 1

（1）若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时，即∠AOA₁=45°，又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°，同理∠PEO=90°
∴EO＝FO＝(AB)/(2)
在Rt△EOP和Rt△FOP中，有

OE＝OF

OP＝OP

∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA₁
法一证明：连接AA₁，则∵O是两个正方形的中心，∴OA=OA₁∠PA₁O=∠PAO=45°
∴∠AA₁O=∠A₁AO
∴∠AA₁O-∠PA₁O=∠A₁AO-∠PAO
即∠AA₁P=∠A₁AP∴PA=PA₁
法二：证明，同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A₁PF∴∠APE+∠EPO=∠A₁PF+∠FPO即∠APO=∠A₁PO（2分）
在△APO和△A₁PO中有

OP＝OP

∠APO＝∠A1PO

∠PAO＝∠PA1O＝45°

∴△APO≌△A₁PO
∴PA=PA₁
（2）成立
证明如下：法一证明：连接AA₁，则∵O是两个正方形的中心，∴OA=OA₁∠PA₁O=∠PAO=45°
∴∠AA₁O=∠A₁AO
∴∠AA₁O-∠PA₁O=∠A₁AO-∠PAO
即∠AA₁P=∠A₁AP∴PA=PA₁
法二
如图，作OE⊥A₁D₁，OF⊥AB，垂足分别为E，F
则OE=OF，∠PFO=90°，∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中，有

OE＝OF

OP＝OP

∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A₁PF∴∠APE+∠EPO=∠A₁PF+∠FPO即∠APO=∠A₁PO
在△APO和△A₁PO中有

OP＝OP

∠APO＝∠A1PO

∠PAO＝∠PA1O＝45°

∴△APO≌△A₁PO
∴PA=PA₁
（3）不变化，在旋转过程中，∠POQ的度数不发生变化，∠POQ=45°．