（2010•上海二模）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=4，点M是棱D1C1的中点．（1）试用反证法证明直线AB1与BC1是异面直线；（2）求直线AB1与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示

Question

（2010•上海二模）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=4，点M是棱D₁C₁的中点．
（1）试用反证法证明直线AB₁与BC₁是异面直线；
（2）求直线AB₁与平面DA₁M所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

证明：（1）（反证法）假设直线AB₁与BC₁不是异面直线．（1分）
设直线AB₁与BC₁都在平面α上，则A、B、B₁、C₁∈α．（3分）
因此，平面ABB₁A₁、平面BCC₁B₁都与平面α有不共线的三个公共点，
即平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合（都与平面α重合）．又长方体的相邻两个面不重合，这是矛盾，
于是，假设不成立．（6分）
所以直线AB₁与BC₁是异面直线．（7分）
（2）按如图所示建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为D（0，0，0）、
A（4，0，0）、B（4，2，0），C（0，2，0），A₁（4，0，4），B₁（4，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．于是，M（0，1，4），

DM

＝(0，1，4)，

DA1

＝(4，0，4)，

AB1

＝(0，2，4)．（9分）

设平面DA₁M的法向量为

n 

＝(x，y，z)，则√(n•作业帮用户2017-11-02举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）假设直线AB1与BC1不是异面直线，它们都在平面α上，推出平面ABB1A1和平面BCC1B1重合，这是矛盾，（2）求出平面的一个法向量，直线和平面所成的角的余弦值等于直线与平面的法向量夹角的正弦值．名师点评本题考点：异面直线的判定；直线与平面所成的角．考点点评：本题考查用反证法证明2条直线是异面直线、及用向量法求直线和平面的夹角．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)