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已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点,则直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.

题目详情
已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点,则直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是( )

A.
B.
C.
D.
▼优质解答
答案和解析
连接BD、AE,过F作FH⊥BD交BD于H,连接EH,根据面面垂直的判定与性质,可得FH⊥平面BB1D1D,因此∠FEH是直线EF和平面BDB1D1所成的角.设正方体的棱长为2,结合题设可得Rt△EFH中,EF=且FH=,由此结合直角三角形正弦的定义,可算出直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值.
【解析】
连接BD,AE,过F作FH⊥BD交BD于H,连接EH
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊂平面BB1D1D
∴平面BB1D1D⊥平面ABCD,
∵平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,FH⊂平面ABCD,FH⊥BD
∴FH⊥平面BB1D1D,
因此,直线EH是直线EF在平面内的射影,得∠FEH是直线EF和平面BDB1D1所成的角
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
∵E、F分别是BB1、AD的中点,
∴Rt△DFH中,DF=1,∠FDH=45°,可得FH=DF=
Rt△AEF中,AF=1,AE==,可得EF==
在Rt△EFH中,sin∠FEH==,即直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是
故选B.