2014•福州模拟）如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，E为BB1延长线上的一点且满足BB1•B1E=1．（Ⅰ）求证：D1E⊥平面AD1C；（Ⅱ）当B1EBB1为何值时，二面角E-AC-D1的大小

Question

2014•福州模拟）如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，E为BB1延长线上的一点且满足
BB1
•
B1E
=1．
（Ⅰ）求证：D1E⊥平面AD1C；
（Ⅱ）当
B1E
BB1
为何值时，二面角E-AC-D1的大小为
π
4
．

Answer 1

(1)分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0),C(0，1，0),B(1，1，0),
设D1(0，0，h),h>0,由E为BB1延长线上的一点且满足BB1•B1E=1，得E(1，1，h+1/h),
∴向量D1E=(1，1，1/h),D1A=(1,0,-h),D1C=(0,1,-h),
∴向量D1E*D1A=1-1=0，D1E*D1C=1-1=0，
∴D1E⊥D1A,D1E⊥D1C,
∴D1E⊥平面AD1C.
(2)设平面ACE的法向量是m=(a,b,1),
向量AE=(0，1，h+1/h),CE=(1,0,h+1/h),
m*AE=b+h+1/h=0,m*CE=a+h+1/h=0,
∴a=b=-h-1/h.m=(-h-1/h,-h-1/h,1)
m*D1E=-2h-1/h,|m|=√[2(h+1/h)^2+1]=√(2h^2+2/h^2+5),|D1E|=√(2+1/h^2),
∴cos=(2h+1/h)/√[(2h^2+2/h^2+5)(2+1/h^2)]=1/√2，
平方得2（2h+1/h)^2=(2h^2+5+2/h^2)(2+1/h^2),
展开得2(4h^2+4+1/h^2)=4h^2+10+4/h^2+2+5/h^2+2/h^4,
整理得4h^2-4-7/h^2-2/h^4=0,
∴4h^6-4h^4-7h^2-2=0,
(h^2-2)(4h^4+4h^2+1)=0,
∴h^2=2,h=√2，
此时，B1E/BB1=1/h^2=1/2.