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如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点;(Ⅰ)若E是CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD;(Ⅱ)求出CE的长度,使得A1-BD-E为直二面
题目详情
如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点;
(Ⅰ)若E是CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD;
(Ⅱ)求出CE的长度,使得A1-BD-E为直二面角.
(Ⅰ)若E是CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD;
(Ⅱ)求出CE的长度,使得A1-BD-E为直二面角.
▼优质解答
答案和解析
(I)连接CD1,
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1且B1C1∥BC,B1C1=BC
∴四边形A1D1BC是平行四边形,可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中,EF是中位线,∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----(3分)
∵EF⊄面ABB1A1,A1B⊆面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD;…(6分)
(II)连接AC与BD相交于点O,连接A1O,EO
∵AA1⊥平面ABCD,BD⊆平面ABCD,∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线,
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO⊆平面AA1C1C,∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角,
因此,要使A1-BD-E为直二面角,即∠A1OE=90°,可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC,结合∠A1AO=∠OCE=90°,得△A1AO~△OCE.
设CE=x,所以
=
,…(*)
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,AB=2
∴AO=OC=
AC=
,
又因为AA1=4,代入(*)可得
=
,解之得x=
∴当CE的长度为
时,二面角A1-BD-E为直二面角.…(12分)
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1且B1C1∥BC,B1C1=BC
∴四边形A1D1BC是平行四边形,可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中,EF是中位线,∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----(3分)
∵EF⊄面ABB1A1,A1B⊆面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD;…(6分)
(II)连接AC与BD相交于点O,连接A1O,EO
∵AA1⊥平面ABCD,BD⊆平面ABCD,∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线,
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO⊆平面AA1C1C,∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角,
因此,要使A1-BD-E为直二面角,即∠A1OE=90°,可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC,结合∠A1AO=∠OCE=90°,得△A1AO~△OCE.
设CE=x,所以
AA1 |
OC |
OA |
CE |
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,AB=2
∴AO=OC=
1 |
2 |
3 |
又因为AA1=4,代入(*)可得
4 | ||
|
| ||
x |
3 |
4 |
∴当CE的长度为
3 |
4 |
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