如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下

Question

如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．下列结论正确的有（　　）
①四边形A₂B₂C₂D₂是矩形；②四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；③四边形A₅B₅C₅D₅的周长是

(a+b)/(4)，④四边形A_nB_nC_nD_n的面积是(ab)/(2n+1)．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

①连接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的两条对角线相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
故本选项错误；
②由①知，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
∴根据中位线定理知，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A₅B₅=(1)/(2)A₃B₃=(1)/(2)A₁B₁=(1)/(2)AC，B₅C₅=(1)/(2)B₃C₃=(1)/(2)B₁C₁=(1)/(2)BD，
∴四边形A₅B₅C₅D₅的周长是2×(1)/(8)（a+b）=(a+b)/(4)，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A_nB_nC_nD_n的面积是(ab)/(2n+1)，
故本选项正确．
综上所述，②③④正确．
故选C．