如图，等腰直角三角形OAB中，∠AOB=90°，AB=1，在△OAB中作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3…；依次作下去

Question

如图，等腰直角三角形OAB中，∠AOB=90°，AB=1，在△OAB中作内接正方形A₁B₁C₁D₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中，作内接正方形A₂B₂C₂D₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中，作内接正方形A₃B₃C₃D₃…；依次作下去，则第n个正方形A_nB_nC_nD_n的面积是___．

Answer 1

过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A₁B₁于点N，如图所示：
∵A₁B₁∥AB，
∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=(1)/(2)AB=(1)/(2)，
又∵△OA₁B₁为等腰直角三角形，
∴ON=(1)/(2)A₁B₁=(1)/(2)MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A₁C₁=MN=(2)/(3)OM=(2)/(3)×(1)/(2)=(1)/(3)，
同理第2个正方形的边长A₂C₂=(2)/(3)ON=(2)/(3)×(1)/(6)=(1)/(32)，
则第n个正方形A_nB_nD_nC_n的边长为：(1)/(3n)．
∴第n个正方形A_nB_nC_nD_n的面积是（(1)/(3n)）²=(1)/(9n)
故答案为：(1)/(9n)．