已知f(x)=ax²,且f(1)=1设bn=f（n）n∈N*,dn=1/﹙b1﹚∧½+1/﹙b2﹚∧½+.+1/﹙bn﹚∧½求证：当n≥2都有﹙dn﹚²＞2﹙d2／2+d3／3+.＋dn／n﹚

Question

已知f(x)=ax²,且f(1)=1
设bn=f（n）n∈N*,dn=1/﹙b1﹚∧½+1/﹙b2﹚∧½+.+1/﹙bn﹚∧½
求证：当n≥2都有﹙dn﹚²＞2﹙d2／2+d3／3+.＋dn／n﹚

Answer 1

易知a=1,则d(n)=1+1/2+…+1/n.
用归纳法证明一个更强的命题：(dn)²-1/n>2(d2/2+d3/3+…+dn/n).
n=1时,左=9/4-1/2=7/4>3/2=右.
设n时命题成立,即(dn)²-1/n>2(d2/2+d3/3+…+dn/n).
考虑(n+1)时情形,往证(d(n+1))²-1/(n+1)>2(d2/2+d3/3+…+dn/n+d(n+1)/(n+1)).
只要证:(d(n+1))²-1/(n+1)-[(dn)²+1/n]>2d(n+1)/(n+1).\x05(*)
d(n)=d(n+1)-1/(n+1),故(d(n+1))²-(dn)²=2d(n+1)/(n+1)-1/(n+1)².
所以(*)左=2d(n+1)/(n+1)-1/(n+1)²+1/n(n+1)>2d(n+1)/(n+1)=(*)右.证毕.