如图,已知Rt△ABC的面积为1,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,
如图,已知Rt△ABC的面积为1,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3,…,△BDnEn的面积为S1,S2,S3,…Sn.则Sn等于( )
A. 1 (n+1)2
B. 1 (2n)2
C. 1 4n
D. 1 2n+1
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知:D1E1=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴在△ACB中,D2为其重心,
∴D2E1=
1 |
3 |
∴D2E2=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
32 |
∵D2E2:D1E1=2:3,D1E1:BC=1:2,
∴BC:D2E2=2D1E1:
2 |
3 |
∴CD3:CD2=D3E3:D2E2=CE3:CE2=3:4,
∴D3E3=
3 |
4 |
3 |
4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
42 |
∴Sn=
1 |
(n+1)2 |
1 |
(n+1)2 |
故选:A.
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