(2013•定海区模拟)如图,已知Rt△ABC中,AC=b,BC=a,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连结BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连结BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次
(2013•定海区模拟)如图,已知Rt△ABC中,AC=b,BC=a,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连结BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连结BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3,…,△BDnEn的面积为S1,S2,S3,…Sn.则Sn为( )
A.
B.
C.
D.
答案和解析
∵D
1E
1⊥AC,BC⊥AC,
∴D
1E
1∥BC,
∴△BD
1E
1与△CD
1E
1同底同高,面积相等,以此类推;
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知:D
1E
1=
BC,CE1=AC,S1=S△ABC;
∴在△ACB中,D2为其重心,
∴D2E1=BE1,
∴D2E2=BC,CE2=AC,S2=S△ABC,
∵D2E2:D1E1=2:3,D1E1:BC=1:2,
∴BC:D2E2=2D1E1:D1E1=3,
∴CD3:CD2=D3E3:D2E2=CE3:CE2=3:4,
∴D3E3=D2E2=×BC=BC,CE3=CE2=×AC=AC,S3=S△ABC…;
∴Sn=S△ABC=×ab=.
故选A.
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