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(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a+1b≥4.(2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.
题目详情
(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
+
≥4.
(2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.
1 |
a |
1 |
b |
(2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.
▼优质解答
答案和解析
(1)方法一:∵a>0,b>0,a+b=1
∴
+
=
+
=2+
+
≥2+2
=4
(当且仅当a=b=
时等号成立).∴
+
≥4.∴原不等式成立.
方法二:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴
+
=(a+b)(
+
)=2+
+
≥2+2
=4.∴
+
≥4
(当且仅当a=b=
时等号成立).∴原不等式成立.
(2)a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2•2abcd=4abcd.
故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且a2b2=c2d2.
∴
1 |
a |
1 |
b |
a+b |
a |
a+b |
b |
b |
a |
a |
b |
|
(当且仅当a=b=
1 |
2 |
1 |
a |
1 |
b |
方法二:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴
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a |
1 |
b |
1 |
a |
1 |
b |
b |
a |
a |
b |
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a |
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(当且仅当a=b=
1 |
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(2)a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2•2abcd=4abcd.
故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且a2b2=c2d2.
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