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(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:1a+1b≥4.(2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.

题目详情
(1)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
1
a
+
1
b
≥4.
(2)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd.
▼优质解答
答案和解析
(1)方法一:∵a>0,b>0,a+b=1
1
a
+
1
b
a+b
a
+
a+b
b
=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
a
b
=4
(当且仅当a=b=
1
2
时等号成立).∴
1
a
+
1
b
≥4.∴原不等式成立.
方法二:∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a
+
1
b
=(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
a
b
=4.∴
1
a
+
1
b
≥4
(当且仅当a=b=
1
2
时等号成立).∴原不等式成立.
(2)a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2•2abcd=4abcd.
故原不等式得证,等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且a2b2=c2d2