若点P.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,F1,F2分别是它们的左右焦点,设椭圆离心率为e1,双曲线离心率e2,若PF1→*PF2→=0,则1/e1∧2+1/e2∧2=(PF1→,PF2→为向量）

Question

若点P.
若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,F1,F2分别是它们的左右焦点,设椭圆离心率为e1,双曲线离心率e2,若PF1→*PF2→=0,则1/e1∧2+1/e2∧2=
(PF1→,PF2→为向量）

Answer 1

椭圆x∧2/a1∧2+y∧2/b1∧2=1 e1=c/a1
双曲线x∧2/a2∧2-y∧2/b2∧2=1 e2=c/a2
1/e1∧2+1/e2∧2=(a1^2+a2^2)/c^2
因为PF1→*PF2→=0
所以PF1F2是直角三角形
PF1+PF2=2a1 (1)
|PF1-PF2|=2a2 (2)
PF1^2+PF2^2=F1F2^2=4c^2
(1)^2+(2)^2得 2(PF1^2+PF2^2)=4a1^2+4a2^2=4(a1^2+a2^2)
所以a1^2+a2^2=2c^2
所以1/e1∧2+1/e2∧2=(a1^2+a2^2)/c^2=2