已知函数f（x）=2sinx-2cosx，x∈[-12，1]，g（x）=e1-2x．（1）求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）求证：x∈[-12，1]时，f（x）≥l（x）恒成立；（3）求证：x∈[-12，1]时，f（x）+g（x）≥0恒成立

Question

已知函数f（x）=2sinx-2cosx，x∈[-(1)/(2)，1]，g（x）=e^1-2x．
（1）求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）求证：x∈[-(1)/(2)，1]时，f（x）≥l（x）恒成立；
（3）求证：x∈[-(1)/(2)，1]时，f（x）+g（x）≥0恒成立．

Answer 1

（1）由题意可知，f'（x）=2cosx+2sinx，
f'（0）=2，f（0）=-2，
所以f（x）在x=0处的切线方程y=2x-2；
（2）证明：令F（x）=f（x）-l（x）=2sinx-2cosx-2x+2，x∈[-(1)/(2)，1]
则F′(x)=2cosx+2sinx-2=2√(2)sin(x+(π)/(4))-2
当x∈（0，1]时，F'（x）>0，即F（x）在（0，1]上是增函数，
当x∈[-(1)/(2)，0)时，F'（x）<0，即F（x）在[-(1)/(2)，0)上是减函数，
所以，在[-(1)/(2)，1]上，F（x）_min=F（0）=0，所以F（x）≥0．
所以，f（x）≥l（x），（当且仅当x=0时上式取等号）
（3）欲证x∈[-(1)/(2)，1]，f（x）+g（x）≥0
需证-e1-2x<2√(2)sin(x-(π)/(4))，对于任意x∈[-(1)/(2)，1]上恒成立，
由（2）知x∈[-(1)/(2)，1]时，f（x）≥l（x）恒成立；
即2sinx-2cosx-2x+2≥0恒成立
所以，现只需证-e^1-2x≤2x-2在x∈[-(1)/(2)，1]时恒成立即可
设函数h（x）=2x-2+e^1-2x，x∈[-(1)/(2)，1]，
则h′（x）=2-2e^1-2x=2（1-e^1-2x），
当x∈[-(1)/(2)，(1)/(2))时，h′（x）<0，即h（x）在[-(1)/(2)，(1)/(2))上是减函数，
当x∈((1)/(2)，1]时，h′（x）>0，即h（x）在((1)/(2)，1]上是增函数，
所以在[-(1)/(2)，1]上，h(x)min=h((1)/(2))=0，所以h（x）≥0，即-e^1-2x≤2x-2，
（当且仅当x=(1)/(2)时上式取等号）②，
综上所述，-e1-2x≤2x-2≤2√(2)sin(x-(π)/(4))，
所以