双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),双曲线y^2/b^2-x^2/a^2=1(a>0,b>0)的离心率分别为e1、e2,则1/e1+1/e2的最大值为

Question

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),双曲线y^2/b^2-x^2/a^2=1(a>0,b>0)的离心率分别为e1、e2,则1/e1+1/e2的最大值为

Answer 1

两条双曲线c相同,均为c²=a²+b²；
e1=c/a,e2=c/b
1/e1+1/e2=(a+b)/c
[(a+b)/c]²=(a+b)²/c²
=(a²+b²+2ab)/(a²+b²)
=1+2ab/(a²+b²)
因为a²+b²≧2ab
所以2ab/(a²+b²)≦1
所以[(a+b)/c]²=1+2ab/(a²+b²)≦2
则1/e1+1/e2=(a+b)/c≦√2
即1/e1+1/e2的最大值为√2；
如果不懂,请Hi我,