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已知向量e1,e2不共线如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数m,n使得向量d=ma+nb与c共线
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已知向量e1,e2不共线如果a=e1+2e2,b=2e1-4e2,c=4e1-7e2,是否存在非零实数m,n使得向量d=ma+nb与c共线
▼优质解答
答案和解析
存在,而且还很多对：
ma+nb=me1+2me2+2ne1-4ne2=(m+2n)e1+(2m-4n)e2
ma+nb与c共线,即：ma+nb=kc=4ke1-7ke2
即：(m+2n-4k)e1+(2m-4n+7k)e2=0
e1、e2不共线,故：m+2n=4k,4n-2m=7k
故：(m+2n)/(4n-2m)=4/7
即：15m=2n,可取：m=2,n=15
此时,ma+nb=32e1-56e2=8(4e1-7e2)=8c
ma+nb=me1+2me2+2ne1-4ne2=(m+2n)e1+(2m-4n)e2
ma+nb与c共线,即：ma+nb=kc=4ke1-7ke2
即：(m+2n-4k)e1+(2m-4n+7k)e2=0
e1、e2不共线,故：m+2n=4k,4n-2m=7k
故：(m+2n)/(4n-2m)=4/7
即：15m=2n,可取：m=2,n=15
此时,ma+nb=32e1-56e2=8(4e1-7e2)=8c
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