已知点P为函数f（x）=ex的图象上任意一点，点Q为圆（x-e2-1）2+y2=1上任意一点（e为自然对数的底），则线段PQ的长度的最小值为．

Question

已知点P为函数f（x）=e^x的图象上任意一点，点Q为圆（x-e²-1）²+y²=1上任意一点（e为自然对数的底），则线段PQ的长度的最小值为___．

Answer 1

由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e²+1，0）到函数f（x）=e^x图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，e^m），
由f（x）的导数为f′（x）=e^x，
即有切线的斜率为k=e^m，
可得(em)/(m-e2-1)=-e^-m，
即有e^2m-e²+m-1=0，
由g（x）=e^2x-e²+x-1，可得g′（x）=2e^2x+1>0，g（x）递增．
又g（1）=0，
可得x=1处点（1，e）到点Q的距离最小，且为e√(e2+1)，
则线段PQ的长度的最小值为e√(e2+1)-1，
故答案为e√(e2+1)-1．