已知函数f（x）=ax-（2a+1）lnx-2x，g（x）=-2alnx-2x，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a>0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈[1e，e2]，使不等

Question

已知函数f（x）=ax-（2a+1）lnx-(2)/(x)，g（x）=-2alnx-(2)/(x)，其中a∈R
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a>0时，求f（x）的单调区间；
（3）若存在x∈[(1)/(e)，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=2x-5lnx-(2)/(x)，
f′(x)=2-(5)/(x)+(2)/(x2)，f′（1）=-1，
又f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（2）f′(x)=a-(2a+1)/(x)+(2)/(x2)=(a(x-2)(x-(1)/(a)))/(x2)．
当a=(1)/(2)时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a>(1)/(2)时，当x∈(0，(1)/(a))，(2，+∞)时，f′（x）>0，函数f（x）为增函数；当x∈((1)/(a)，2)时，f′（x）<0，
f（x）为减函数；
当0<a<(1)/(2)时，当x∈(0，2)，((1)/(a)，+∞)时，f′（x）>0，函数f（x）为增函数；当x∈(2，(1)/(a))时，f′（x）<0，
f（x）为减函数；
（3）f（x）≥g（x）等价于ax-（2a+1）lnx-(2)/(x)≥-2alnx-(2)/(x)，即ax-lnx≥0，
分离参数a得，a≥(lnx)/(x)．
令h(x)=(lnx)/(x)，
若存在x∈[(1)/(e)，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，
即a≥h（x）_min．
h′(x)=(1-lnx)/(x2)，
当x∈（0，e）时，h′（x）>0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）<0，h（x）为减函数．
而h（(1)/(e)）=-e，h（e²）=(2)/(e2)．
∴h（x）在[(1)/(e)，e²]上的最小值为-e，
∴a≥-e．