已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，

Question

已知抛物线E₁：y=x²经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E₂经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E₂所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E₁上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E₁上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E₂相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

Answer 1

（1）∵抛物线E₁经过点A（1，m），
∴m=1²=1．
∵抛物线E₂的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax²（a≠0），
又∵点B（2，2）在抛物线E₂上，
∴2=a×2²，
解得：a=(1)/(2)，
∴抛物线E₂所对应的二次函数表达式为y=(1)/(2)x²．

（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E₁上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，
由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．
①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E₁于Q，
则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x²得y=4，
∴点Q的坐标为（2，4）． 
②当点Q为直角顶点时，则有QB′²+QB²=B′B²，过点Q作GQ⊥BB′于G，
设点Q的坐标为（t，t²）（t>0），
则有（t+2）²+（t²-2）²+（2-t）²+（t²-2）²=16，
整理得：t⁴-3t²=0，
∵t>0，∴t²-3=0，解得t₁=√(3)，t₂=-√(3)（舍去），
∴点Q的坐标为（√(3)，3），
综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（√(3)，3）；

（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA′于点E，
过点P′作P′D⊥x轴，垂足为点D，P′D交直线BB′于点F，
依题意可设P（c，c²）、P′（d，(1)/(2)d2） （c>0，c≠q），
∵tan∠POC=tan∠P′OD，
∴(c2)/(c)=((1)/(2)d2)/(d)，
∴d=2c．
∵AA′=2，BB′=4，
∴(S△PAA′)/(SP′BB′)=((1)/(2)AA′•PE)/((1)/(2)BB′•P′F)=((1)/(2)×2×|c2-1|)/((1)/(2)×4×|(1)/(2)d2-2|)=

作业帮用户 2017-02-13 举报

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