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如图,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC中点,连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD,明天早上5:30结束真的非常需要你的帮助
题目详情
如图,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC中点,连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD,明天早上5:30结束真的非常需要你的帮助
▼优质解答
答案和解析
连接BD,OD
(1)
∵AB为直径(已知)
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵E是BC中点(已知)
∴BE=DE(直角三角形的斜边中点到三顶点的距离相等.)
∴∠EBD=∠EDB(三角形中,等边对应的角也相等.)
∵OB=OD(同圆半径相等)
∴∠OBD=∠ODB(三角形中,等边对应的角也相等.)
∵∠ABC=90°(已知)
∴∠ODE=∠ABC=90°
∴DE为圆O的切线.(切线定义:过圆周上一点,且垂直于过该点半径的直线时圆的切线.)
(2)证明:
∵O为AB的中点,E为BC的中点
∴AC=2OE(三角形中位线等于底边的一半)
在⊿CDB和⊿CAB中
∵∠CDB=CBA=90°,且∠C为公用角
∴Rt⊿CDB∽Rt⊿CBA
∴BC/AC=CD/BC
BC²=AC·CD=2·OE·CD=2·CD·OE
(3)设TAN∠C=√5/2,DE=2,求AD.
解,
∵DE=2
∴BC=BE+CE=2DE=2x2=4
∵TAN∠C=√5/2
∴AB=BC·TAN∠C=4x(√5/2)=2√5
AC=√(AB²+BC²)=√〔(2√5)²+4²)〕=6
同理可证:AB²=AD·AC(证法略.)
AD=AB²/AC=(2√5)²/6=10/3
(1)
∵AB为直径(已知)
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵E是BC中点(已知)
∴BE=DE(直角三角形的斜边中点到三顶点的距离相等.)
∴∠EBD=∠EDB(三角形中,等边对应的角也相等.)
∵OB=OD(同圆半径相等)
∴∠OBD=∠ODB(三角形中,等边对应的角也相等.)
∵∠ABC=90°(已知)
∴∠ODE=∠ABC=90°
∴DE为圆O的切线.(切线定义:过圆周上一点,且垂直于过该点半径的直线时圆的切线.)
(2)证明:
∵O为AB的中点,E为BC的中点
∴AC=2OE(三角形中位线等于底边的一半)
在⊿CDB和⊿CAB中
∵∠CDB=CBA=90°,且∠C为公用角
∴Rt⊿CDB∽Rt⊿CBA
∴BC/AC=CD/BC
BC²=AC·CD=2·OE·CD=2·CD·OE
(3)设TAN∠C=√5/2,DE=2,求AD.
解,
∵DE=2
∴BC=BE+CE=2DE=2x2=4
∵TAN∠C=√5/2
∴AB=BC·TAN∠C=4x(√5/2)=2√5
AC=√(AB²+BC²)=√〔(2√5)²+4²)〕=6
同理可证:AB²=AD·AC(证法略.)
AD=AB²/AC=(2√5)²/6=10/3
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