如图,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC中点,连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD,明天早上5：30结束真的非常需要你的帮助

Question

如图,RT△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC中点,连接DE、OE1判断DE与圆O的位置关系2求证BC²=2CD×OE3若TANC=根号五/2DE=2求AD,明天早上5：30结束真的非常需要你的帮助

Answer 1

连接BD,OD
（1）
∵AB为直径（已知）
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵E是BC中点（已知）
∴BE=DE（直角三角形的斜边中点到三顶点的距离相等.）
∴∠EBD=∠EDB（三角形中,等边对应的角也相等.）
∵OB=OD（同圆半径相等）
∴∠OBD=∠ODB（三角形中,等边对应的角也相等.）
∵∠ABC=90°（已知）
∴∠ODE=∠ABC=90°
∴DE为圆O的切线.（切线定义：过圆周上一点,且垂直于过该点半径的直线时圆的切线.）
（2）证明：
∵O为AB的中点,E为BC的中点
∴AC=2OE（三角形中位线等于底边的一半）
在⊿CDB和⊿CAB中
∵∠CDB=CBA=90°,且∠C为公用角
∴Rt⊿CDB∽Rt⊿CBA
∴BC/AC=CD/BC
BC²=AC·CD=2·OE·CD=2·CD·OE
（3）设TAN∠C=√5/2,DE=2,求AD.
解,
∵DE=2
∴BC=BE+CE=2DE=2x2=4
∵TAN∠C=√5/2
∴AB=BC·TAN∠C=4x(√5/2)=2√5
AC=√(AB²+BC²)=√〔(2√5)²+4²)〕=6
同理可证：AB²=AD·AC（证法略.）
AD=AB²/AC=(2√5)²/6=10/3