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n元实二次型XTAX(其中AT=A)正定的充要条件是()A.存在正交矩阵P,使PTAP=EB.负惯性指数为零C.存在n阶矩阵C,使A=CTCD.A与单位矩阵E合同
题目详情
n元实二次型XTAX(其中AT=A)正定的充要条件是( )
A.存在正交矩阵P,使PTAP=E
B.负惯性指数为零
C.存在n阶矩阵C,使A=CTC
D.A与单位矩阵E合同
A.存在正交矩阵P,使PTAP=E
B.负惯性指数为零
C.存在n阶矩阵C,使A=CTC
D.A与单位矩阵E合同
▼优质解答
答案和解析
由正定矩阵判定定理:
定理1:n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;
推论1:n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是它的矩阵A的特征值全大于零;推论2:n元二次型f=XTAX正定(实对称矩阵A正定)的充要条件,是存在可逆C,得 CTAC=E(即A与n阶单位矩阵E合同).
所以可得:
选项(A)存在的正交矩阵P必须是可逆的,是充分而非必要条件;
选项(B)负惯性指数为零,正惯性指数不一定是n,是必要非充分条件;
选项(C)存在矩阵必须C是可逆的,是必要非充分条件;
故选择:D.
由正定矩阵判定定理:
定理1:n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;
推论1:n元实二次型 f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是它的矩阵A的特征值全大于零;推论2:n元二次型f=XTAX正定(实对称矩阵A正定)的充要条件,是存在可逆C,得 CTAC=E(即A与n阶单位矩阵E合同).
所以可得:
选项(A)存在的正交矩阵P必须是可逆的,是充分而非必要条件;
选项(B)负惯性指数为零,正惯性指数不一定是n,是必要非充分条件;
选项(C)存在矩阵必须C是可逆的,是必要非充分条件;
故选择:D.
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