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如图(1),四边形ABCD中,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一条边与CB的延长线交于点E,连接EF(1)若四边形ABCD为正方形,当∠

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如图(1),四边形ABCD中,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一条边与CB的延长线交于点E,连接EF
(1)若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF-BE,请你思考如何证明这个结论(只思考,不必写出证明过程);
(2)如图(2),如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF= ∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论);
(3)如图(3),如果四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF= ∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式并给予证明;
(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可)。
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在DF上截取DM=BE;
∵AD=AB,∠ABE=∠ADM=90°,
∴△ABE≌△ADM,
∴AE=AM,∠EAB=∠DAM,
∵∠EAF=45°,且∠EAB=∠DAM,
∴∠BAF+∠DAM=45°,即∠MAF=45°=∠EAF,
又∵AE=AM,AF=AF,
∴△AEF≌△AMF,得EF=FM,
∵DF=DM+FM,
∴DF=BE+EF,即EF=DF-BE;
(2)EF=DF-BE;
(3)EF=DF-BE;
证明:在DF上截取DM=BE,
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠D=∠ABE,
∴AD=AB,
∴△ADM≌△ABE,
∴AM=AE,∠DAM=∠BAE;
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF= ∠BAD,
∴∠DAM+∠BAF= ∠BAD,
∴∠MAF= ∠BAD,
∵AF是△EAF与△MAF的公共边,
∴△EAF≌△MAF,
∴EF=MF,
∵MF=DF-DM=DF-BE,
∴EF=DF-BE;
(4)△CEF的周长为15。

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