直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点，（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM；（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值。

Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点，
（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM；
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值。

Answer 1

（1）证明：作AE⊥CD交延长线于点E， ∵∠DMC=45°，∠C=90°， ∴CM=CD， 又∵∠B=∠C=∠E=90°，AB=BC， ∴四边形ABCE为正方形， ∴BC=CE， ∴BM=DE， 在Rt△ABM和Rt△AED中， ∴△ABM≌△AED， ∴AD=AM。 （2）把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合， 得Rt△AEN， ∵∠DAM=45°， ∴∠BAM+∠DAE=45°， 由旋转知∠1=∠3， ∴∠2+∠3=45°， 即∠DAM=∠DAN， 由旋转知AM=AN， ∴△ADM≌△ADN， ∴DM=DN， 设BM=x， ∵AB=BC=CE=7， ∴CM=7-x， 又∵CD=4， ∴DE=3，BM=EN=x， ∴MD=DN=3+x， 在Rt△CDM中，（7-x） 2 +4 2 =（3+x） 2 ，x= ， ∴BM的值为 。