已知x>0,y>0,z>0,证明√(x2+y2+xy)+√(y2+yz+z2)>√(x2+z2xz)

Question

已知x>0,y>0 ,z>0,证明√(x2+y2+xy)+√(y2+yz+z2)>√(x2+z2
xz)

Answer 1

因x,y,z均>0,即证（不等式2边平方）：
(x^2+y^2+xy)+(y^2+z^2+yz)+2√[(x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)]
>x^2+z^2+xz
2y^2+xy+yz-xz+2√[(x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)]>0
即
2√[(x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)]>xz-2y^2-xy-yz
若2y^2+xy+yz>xz
不等式显然成立
若,xz>2y^2+xy+yz,不等式2边均为大于零的数,可再平方
即证：
4x^2y^2+4x^2z^2+4x^2yz+4y^4+4y^2z^2+4y^3z+4xy^3+4xyz^2+4xzy^2
>x^2z^2+4y^4+x^2y^2+y^2z^2-4xy^2z-2x^2yz-2xz^2y+4y^3x+4y^3z+xy^2z
合并同类项,移项后得到：
3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(6x+6y+7z)>0
上式明显成立