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设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为.
题目详情
设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为______.
▼优质解答
答案和解析
∵a=lgz+lg[x(yz)-1+1]=lgz+lg(
+1)=lg(
+z),b=lg(yz+
),c=lg(
+y),
∴a+c=lg(
+z)(
+y)=lg(
+x+
+yz)≥lg(2+2)=2lg2,当且仅当x=1,且yz=1时取等号.
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2,故有M≥lg2.
但当x=y=z=1时,a=b=c=lg2,此时,M=lg2.
综上可得,M的最小值为lg2,
故答案为 lg2.
x |
yz |
x |
y |
1 |
x |
1 |
xz |
∴a+c=lg(
x |
y |
1 |
xz |
1 |
yz |
1 |
x |
故a、c 中至少有一个大于或等于lg2,故有M≥lg2.
但当x=y=z=1时,a=b=c=lg2,此时,M=lg2.
综上可得,M的最小值为lg2,
故答案为 lg2.
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