x,y,z是正整数,且(xy+1)(yz+1)(zx+1)是平方数.证明：xy+1等都是平方数几种解法都写出来,

Question

x,y,z是正整数,且(xy+1)(yz+1)(zx+1)是平方数.证明：xy+1等都是平方数 几种解法都写出来,

Answer 1

我只见过一种方法,给你参考一下
如果结论不对,取出满足条件但结论不成立的最小的一组(x,y,z),以x+y+z最小为标准.
不妨设其中z>=y>=x,那么z>1,否则x=y=z=1,矛盾.
令w1=x+y+z+2xyz+2sqrt[(xy+1)(yz+1)(zx+1)],w2=x+y+z+2xyz-2sqrt[(xy+1)(yz+1)(zx+1)]
那么w1,w2是一元二次方程
x^2+y^2+z^2+w^2-2(xy+yz+zx+xw+yw+zw)-4xyzw-4=0……(1)
的两个整数根
把方程(1)改写成
(y+z-x-w)^2 = 4(yz+1)(xw+1)……(2)
(x+z-y-w)^2 = 4(xz+1)(yw+1)……(3)
(x+y-z-w)^2 = 4(xy+1)(zw+1)……(4)
以下的目标是证明(x,y,w1)是更小的一组满足条件但结论不成立,来导致矛盾.
从(2),(3),(4)可知xw+1,yw+1,zw+1不全是完全平方数但其乘积是平方数,所以xw+1,yw+1,xy+1也不全是完全平方数.
再注意zw+1>0,所以w>-1/z>-1,即w>=0.但w=0时xw+1,yw+1,zw+1都是完全平方数,所以只能w>0,即w2>w1>0.
另一方面w1w2=x^2+y^2+z^2-2(xy+yz+zx)-4 < z^2-x(2z-x)-y(2z-y) < z^2,这样w1