如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．（1）求证：△BDM∽△CND；（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；（3）若DM⊥BC，试求

Question

如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．
（1）求证：△BDM∽△CND；
（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；
（3）若DM⊥BC，试求CM的值；
（4）当D从B移动到C，点N运动的总路线长是多少？

Answer 1

（1）证明：∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BDM∽△CND；

（2）∵△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，
∴BD=1.6，CD=2.4，
∵由（1）知，△BDM∽△CND，
∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，
∵AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN，
∴（4-AM）：2.4=1.6：（4-AN）=AM：AN，
∴2.4AM=4AN-AN•AM①，1.6AN=4AM-AM•AN②，
①-②得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM，即6.4AM=5.6AN
∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；

（3）如图所示，当DM⊥BC时，连接CM，设BM=x，则MD=AM=4-BM=4-x
∵在Rt△BDM中，sinB=sin60°=(MD)/(BM)=(4−x)/(x)=(√(3))/(2)，解得x=8（2-√(3)），
∴MD=4-x=4-8（2-√(3)）=8√(3)-12，
∴BD=(1)/(2)BM=4（2-√(3)），
∴CD=4-BD=4-4（2-√(3)）=4

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问题解析

（1）由等边三角形的性质可知，∠A=∠B=∠C=60°，根据图形反折变换的性质可知，∠MDN=∠A=60°，故∠MDB+∠NDC=120°，在△BDM中由于∠MDB+∠BMD=120°，所以∠BMD=∠NDC，故可得出结论；
（2）由△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，可知BD、CD的长，再由（1）中△BDM∽△CND，可知BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，再把AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN代入即可得出结论；
（3）当DM⊥BC时，连接CM，设BM=x，则MD=AM=4-BM=4-x，在Rt△BDM中，由sinB=sin60°=(MD)/(BM)=(4−x)/(x)=(√(3))/(2)可求出x的值，进而得出MD及BD的长，根据勾股定理即可求出CM的长；
（4）当ND⊥BC时，N点到达离C点最远处，同（3）可知此时NC=8（2-√(3)），当D点继续向C点移动时，N往AC中点移动，由此即可得出结论．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题考查的是相似形综合题，涉及到等边三角形的性质及翻折变换的性质、相似三角形的判定定理等相关知识，难度适中．

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