证明1+xln[x+（1+x^2)^1/2]>=（1+x^2)^1/2

Question

证明 1+xln[x+（1+x^2)^1/2]>=（1+x^2)^1/2

Answer 1

证明：要证 x∈R,1+xln[x+（1+x^2)^1/2]≥(1+x^2)^1/2成立
设 x=sht ,t∈R (双曲函数shx)
则ln[x+（1+x^2)^1/2]=t ,(1+x^2)^1/2=cht
只需证 t∈R 1+t(sht)≥cht 即 t(sht)-cht+1 ≥0成立
构造函数 f(t)=t(sht)-cht+1 t∈R
f'(t)=(sht)+t(cht)-sht=t(cht)
得f(t)在(-∞,0)上单减,在(0,+∞)上单增 且f'(0)=0
有f(t)=t(sht)-cht+1≥f(0)=0
得到 t∈R t(sht)-cht+1 ≥0 真
所以 x∈R,1+xln[x+（1+x^2)^1/2]≥(1+x^2)^1/2成立.
上面证明中用到了双曲函数：
shx=(e^x-e^(-x))/2 chx=(e^x+e^(-x))/2
它们有下列特性：(chx)^2-(shx)^2=1 shx是奇函数且在R是单增 chx是偶函数且chx≥1
(shx)'=chx (chx)'=shx
希望对你有点帮助!