已知x趋于0,[(根号1+f(x)sinx)-1]/[x(e^x-1)]的极限=a,求c,k使f(x)等价cx^k当x趋于0时应是{根[1+f(x)sinx]-1}/[x(e^x-1)]的极限=a,a不等于0,后面表述准确。请帮写出过程

Question

已知x趋于0,[(根号1+f(x)sinx)-1]/[x(e^x-1)]的极限=a,求c,k使f(x)等价cx^k
当x趋于0时
应是{根[1+f(x)sinx]-1}/[x(e^x-1)]的极限=a,a不等于0,后面表述准确。请帮写出过程

Answer 1

x->0
O(y)表示y的数量级
O(e^x)=O(1+x) : e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+...
O(sinx)=x : lim (sinx)/x=1
O((1+y)^n)=O(1+ny) : 线性近似
整理之后得
(1+1/2*x*cx^k-1)/(x(1+x-1))
进一步化简为
(c/2*x^(k+1))/x^2
x趋于0,[(根号1+f(x)sinx)-1]/[x(e^x-1)]的极限= x->0 lim(c/2*x^(k+1))/x^2 =a
知c/2=a, k+1=a
解得c=2a,k=1