已知：x+y=根号2sin(θ+π/4),x-y=根号2sin(θ-π/4)求证:x^+y^=1

Question

已知：x+y=根号2sin(θ+π/4),x-y=根号2sin(θ-π/4) 求证:x^+y^=1

Answer 1

x+y=根号2sin(α+π/4)
x-y=根号2sin(α-π/4)
解得：x=(根号2/2)*(sin(α+π/4)+sin(α-π/4)),y=(根号2/2)*(sin(α+π/4)-sin(α-π/4))；
由三角和差化积公式得：sin(α+π/4)=sinα*cos(π/4)+cosα*sin(π/4),sin(α-π/4)=sinα*cos(π/4)-cosα*sin(π/4)；
故sin(α+π/4)+sin(α-π/4)=2*sinα*cos(π/4)=根号2*sinα；
sin(α+π/4)-sin(α-π/4)=2*cosα*sin(π/4)=根号2*cosα；
代入x,y可得：x=sinα,y=cosα；
所以,x²+y²=sin²α+cos²α=1