不等式证明设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)

Question

不等式证明
设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)

Answer 1

用 分析法：
欲证此不等式成立,x>0,y>0
只需证明(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
展开即x^6+y^6+3x^2y^4+3x^4y^2>x^6+y^6+2x^3y^3
只需证明3x^2 y^2(x^2+y^2)>2x^3y^3
只需证明3x^2+3y^2>2xy
只需证明2(x^2+y^2)+(x^2+y^2）>2xy
而 x^2+y^2>2xy 成立
以上各步均可逆
所以原不等式成立