用逆代法:求函数y=4/x+9/(1-x)的最小值

Question

用逆代法:求函数y=4/x+9/(1-x)的最小值

Answer 1

题目存在最小值时,应有0(1)基本不等式法：
4/x+9/(1-x)
＝[x+(1-x)][4/x+9/(1-x)]
＝4(1-x)/x+9x/(1-x)+13
≥2√[4(1-x)/x·9x/(1-x)]+13
＝25,
∴4(1-x)/x＝9x/(1-x),即x＝2/5时,
所求最小值为：y|min＝25.
(2)Cauchy不等式法：
[x+(1-x)][4/x+9/(1-x)]≥(2+3)^2＝25,
故x:4/x＝(1-x):9/(1-x),即x＝2/5时,
所求最小值为：y|min＝25.
(3)权方和不等式法：
2^2/x+3^2/(1-x)≥(2+3)^2/[x+(1-x)]＝25,
故所求最小值为：y|min＝25.
(4)判别式法：
y＝4/x+9/(1-x)
→y(x-x^2)＝4-4x+9x
→yx^2+(5-y)x+4.
△＝(5-y)^2-16y≥0,
解得,y≤1(舍),y≥25.
故所求最小值为：25.
此外,还可用三角代换法等,但我没学过“逆代法”.