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设复数Z满足Z^2+Z+1=0,则Z^3-Z-1/Z+1/Z^3=
题目详情
设复数Z满足Z^2+Z+1=0,则Z^3-Z-1/Z+1/Z^3=_____
▼优质解答
答案和解析
z^3-z-1/z+(1/z)^3
=z^3+(1/z)^3-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-z*(1/z)+(1/z)^2)-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-1+(1/z)^2)-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-2+(1/z)^2)
=(z+1/z)(z^2+2+(1/z)^2-4)
=(z+1/z)(z^2+2*z*(1/z)+(1/z)^2-4)
=(z+1/z)((z+1/z)^2-4)
=(1/z)(z^2+1)*(((1/z)(z^2+1))^2-4)
由z^2+z+1=0得
z^2+1=-z
所以原式=1/z*（-z）*(((1/z)(-z))^2-4)
=-1*((-1)^2-4)
=3
=z^3+(1/z)^3-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-z*(1/z)+(1/z)^2)-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-1+(1/z)^2)-(z+1/z)
=(z+1/z)(z^2-2+(1/z)^2)
=(z+1/z)(z^2+2+(1/z)^2-4)
=(z+1/z)(z^2+2*z*(1/z)+(1/z)^2-4)
=(z+1/z)((z+1/z)^2-4)
=(1/z)(z^2+1)*(((1/z)(z^2+1))^2-4)
由z^2+z+1=0得
z^2+1=-z
所以原式=1/z*（-z）*(((1/z)(-z))^2-4)
=-1*((-1)^2-4)
=3
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