已知场u(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2,则u沿场的梯度方向的方向导数是

Question

已知场u(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2,则u沿场的梯度方向的方向导数是

Answer 1

方向导数是u的梯度与方向的内积：u的梯度是(2x/a^2,2y/b^2,2z/c^2),长度是根号(4x^2/a^4+4y^2/b^4+4z^2/c^4),方向是梯度/长度（单位向量是方向）,因此方向导数为
梯度*梯度/(梯度的长度)=梯度的长度＝2根号(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4).