z^4+4*z^2+16=0答案的格式是2*e^(i*pi/3)

Question

z^4 + 4*z^2 + 16 = 0
答案的格式是 2*e^(i*pi/3)

Answer 1

p=z²
则p²+4p+16=0
p=-2±2i√3
z=a+bi,a,b是实数
则z²=(a²-b²)+2abi=-2±2i√3
若z=-2-2i√3
则a²-b²=-2
2ab=-2√3
b=-√3/a
所以a²-3/a²=-2
a^4+2a²-3=0
a²>=0
所以a²=1
a=±1
b=-√3/a
z=1-i√3,z=-1+i√3
即z=2(cos5π/3+isin5π/3),z=2(cos2π/3+i2π/3)
若z=-2+2i√3
则a²-b²=-2
2ab=2√3
b=√3/a
所以a²=1
a=±1
b=√3/a
z=1+i√3,z=-1-i√3
即z=2(cosπ/3+isinπ/3),z=2(cos4π/3+isin4π/3)
所以
z=2e^(iπ/3),z=2e^(i2π/3),z=2e^(i4π/3),z=2e^(i5π/3),