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求出曲面x^2+2y^2+z^2=4上垂直于平面x-2y+z=4的法线方程
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求出曲面x^2+2y^2+z^2=4上垂直于平面x-2y+z=4的法线方程
▼优质解答
答案和解析
设F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-4
则曲面上任意一点的法向量n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,2z)
法线方程垂直于平面x-2y+z=4
则n平行于平面法向量(1,-2,1)
所以2x/1=4y/(-2)=2z/1=t
故x=t/2 y=-t/2 z=t/2
代入到曲面方程中解出t=2或-2
得到切点是(1,-1,1)或(-1,1,-1)
法线方程是(x-1)/1=(y+1)/(-2)=(z-1)/4或(x+1)/1=(y-1)/(-2)=(z+1)/4
则曲面上任意一点的法向量n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,2z)
法线方程垂直于平面x-2y+z=4
则n平行于平面法向量(1,-2,1)
所以2x/1=4y/(-2)=2z/1=t
故x=t/2 y=-t/2 z=t/2
代入到曲面方程中解出t=2或-2
得到切点是(1,-1,1)或(-1,1,-1)
法线方程是(x-1)/1=(y+1)/(-2)=(z-1)/4或(x+1)/1=(y-1)/(-2)=(z+1)/4
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