求解一道三重积分∫∫∫E(X+Y+Z)dV,E是一个在第一象限以z=4-x^2-y^2为边的固体

Question

求解一道三重积分
∫∫∫E(X+Y+Z)dV,E是一个在第一象限 以z=4-x^2-y^2为边的固体

Answer 1

此立体关于yoz面和xoz面是对称的,因此被积函数中的x与y是不用积的,结果为0,只积z即可.
原式=∫∫∫ z dV
=∫∫dxdy∫[0→4-x²-y²] z dz
=(1/2)∫∫ (4-x²-y²)² dxdy
下面用极坐标
=(1/2)∫∫ (4-r²)²r drdθ
=(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→2] (4-r²)²r dr
=(π/2)∫[0→2] (4-r²)² d(r²)
=-(π/6)(4-r²)³ |[0→2]
=32π/3
同样的,这个题其实截面法更简单.