（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。（I）

Question

（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，E，H分别是棱A ₁ B ₁ ，D ₁ C ₁ 上的点（点E与B ₁ 不重合），且EH∥A ₁ D ₁ . 过EH的平面与棱BB ₁ ，CC ₁ 相交，交点分别为F，G。

（I）           证明：AD∥平面EFGH；
（II）        设AB=2AA ₁ ="2" a .在长方体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 内随机选取一点。记该点取自几何体A ₁ ABFE-D ₁ DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A ₁ B ₁ 上运动且满足EF=a时，求p的最小值.

Answer 1

（I）见解析（II）p的最小值等于7/8

本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分
解法一：
（I）                  证明：在长方体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，AD∥A ₁ D ₁
又∵EH∥A ₁ D ₁ ，∴AD∥EH.
∵AD￠平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
（II）               设BC=b，则长方体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的体积V=AB·AD·AA ₁ =2a ² b，
几何体EB ₁ F-HC ₁ G的体积V ₁ =（1/2EB ₁ ·B ₁ F）·B ₁ C ₁ =b/2·EB­ ₁ ·B ₁ F
∵EB ₁ ² + B ₁ F ² =a ²
∴EB ₁ ² + B ₁ F ² ≤ （E B ₁ ² + B ₁ F ² ）/2 = a ² / 2,当且仅当EB­ ₁ =B ₁ F=   a时等号成立
从而V ₁ ≤ a ² b /4 .
故 p=1-V ₁ /V ≥ =
解法二：
（I）                   同解法一
（II）                设BC=b，则长方体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的体积V=AB·AD·AA ₁ =2a ² b ，
几何体EB ₁ F-HC ₁ G的体积
V ₁ =（1/2 EB­ ₁ ·B ₁ F）·B ₁ C ₁ =b/2 EB­ ₁ ·B ₁ F
设∠B ₁ EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB­ ₁ =" a" cosθ，B ₁ F ="a" sinθ
故EB­ ₁ ·B ₁ F = a ² sinθcosθ= ，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
从而
∴p=1- V ₁ /V≥ = ，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以，p的最小值等于7/8